2014 시도예선 중고등부 문제

수학문제

1. 등차수열 문제이다. x+z = 2y 이다.

y는 30과 50사이의 40이고 x, y, z의 합은 y가 세번있는 것과 마찬가지 이므로 3y = 120이다.

2. 7의 제곱수의 1의자릿수는 7, 9, 3, 1로 순환한다. 따라서 2014%4해서 2번째인 9가 답이다.

3. 눈으로 보고 구하면 13이 나온다.

4. 직접 식을 세우자

시간 = 거리/속력 이므로 총 길의 길이를 a이라고 하면

재석이 걸린 시간 a/24+a/8

명수가 걸린 시간 2a/45+a/15

이다.

재석/명수는 (a/6) / (a/9)해서 3/2

5. A+B+C가 A라는 것은 B+C가 10이라는 것이다. 그러면 1이 올림되고 1+A+B+C가 B이므로 A+1 = B이다.

덧셈으로 올림되는 수는 1이므로 C는 1 이어서 B는 9 이어서 A는 8이다.

6. 행열의 순서가 바뀌어도 각 행과 열에 존재하는 원소는 변하지 않는다. 따라서 3번은 불가능하다.

7. 10번이동하면 마름모 모양으로 (0,10) (10,0) 등으로 이동할 수 있다.

주의할 점은 (0,9)처럼 합이 홀수인 점은 불가능 하다는 점

마름모를 4개로 잘라서 보면 10+8+6+4+2 = 30

4*30+1(원점) = 121

8. 먼저 주머니에서 하나씩 꺼내 한꺼번에 재면 불량동전의 무게를 알 수 있다.

그 뒤 각 주머니에서 1개, 2개, 3개..., 10개를 꺼내서 무게를 젠 뒤에 원래 무게와 비교하면

그 차이를 통해 불량동전이 몇개가 올라갔는지 알 수 있다.

따라서 단 두번이면 된다.

9. 공이 줄어드는 과정을 나타내면

검은공 두개를 꺼내면 검은공    검은공-1

흰공 두개를 꺼내면 검은공       검은공+1 흰공-2

검은공 흰공 꺼내면 흰공          검은공-1

따라서 흰공은 짝수로 시작하면 0으로 끝나고 

홀수로 시작하면 1로 끝날 수밖에 없다.

따라서 2번.

10. 움푹 파진 부분과 매끈한 부분의 수를 보면

움푹 = 0,0,1,1,2,2,3,3

매끈 = 1,2,2,3,3,4,4,5

움푹과 매끈에 작은 삼각형이 하나씩 붙으므로 

붙는 삼각형의 개수 = (1,2,3,4,5,6,7) * 3 (앞에서 한면만 고려했기 때문)

따라서 3, 6, 9의 형태로 증가한다.

N이 11이면 3부터 30까지 등차수열합 +1 해서 165+1 = 166

11. 두명이 서로 마주보면서 가기 때문에 1분에 200M를 갈 수 있다.

따라서 서로 만났다가 다시 만나기까지 2분이 걸린다.

A가 산책로를 100바퀴돌면 40000M돈 것이므로 500분이 걸렸다.

500분동안 대략 250번 만난다. (처음 언제 만나는지 고려 안했을 때)

근데 보기를 뵌 250이 너무 당연하다. 따라서 4.

12. 20,40,10 처럼 서로 자신의 자리를 가르키게 하고 자신의 자리에 있는 값에게 이동하라고 하면 된다.

그러면 최소한의 교환 횟수를 알 수 있는 사이클이 생성된다. 7번하면 된다.

13. 천재들의 생각을 감히 범접할 수 없었다.

14. 원점으로 돌아오는 한붓그리기를 위해서는 모든 정점에서의 간선이 짝수개여야 한다.

따라서 알맞게 연결해주면 최소로 7개의 간선이 더 필요하다. 그래서 총 간선은 7+27 = 34

15. (1 2) (3 4) (5 6)으로 계속 지워주면 1이 15개 생긴다.

1끼리 또 지워주면 1이 나온다.

비슷한 방식으로 인접한 숫자를 두개씩 14번 지워주고 만들어진 14개의 1은 또 0이 된다.

그러면 건드리지 않은 두개의 숫자의 차가 칠판에 남을 수 있다.

29 30 남으면 1

27 30 남으면 2

...

1 30 남으면 29

해서 홀수는 전부 남을 수 있지만 짝수는 전부 남을 수 없다.

2+4+6+...+30 = 32*7 + 16 = 240

코드문제