2012 시도예선 중고등부 문제

수학문제

1. 원래라면 얼마부터 가능한지 증명해야 되지만 딱보니 직접 다 해보는게 빠를거 같다.

24원은 7원 두개 5원 두개

26원은 7원 세개 5원 한개

31원은 위에다가 5원 한개 더

33원은 7원 네개에 5원 한개

따라서 23원만 못 만든다.

2. 축구대회에서 5팀이 있으면 리그전을 위해서 5*4/2 = 10 경기가 필요하다.

그리고 하루에 가능한 경기는 최대 두경기이다. 

따라서 5일

3. 먼저 왼쪽부터 하나씩 A B C D E로 두면

작은 트리만 보면 B = 2C이다. 따라서 B,C는 2,1 또는 4, 2

B,C가 4,2라고 한다면 6 +  A*3 = D*2 + E*5 이다.

대충 A에 3 D에 5 E에 1을 넣으니 등식이 성립한다

따라서 정답은 D에 들어가는 수는 5

4. 먼저 A, B, C는 시간이 되기도 하므로 24보다 작다.

따라서 분끼리 더해져서 시간에 올림이 되는 경우는 생각하지 않아도 된다.

시간끼리 분끼리 보자

A + C = B

B + A = C

연립하면

A는 0이된다. 무슨 일이 있든

따라서 A의 경우의 수는 1개이다.

5. 벤 다이어그램으로 그리면 바로 나온다. 그래서 8명

6. ABCDE 사전순 문제는 주기를 생각해서 계산하면 된다.

첫번째가 바뀌는 주기

두번째가 바뀌는 주기

세번째가 바뀌는 주기

재귀적으로 생각하면

세번째는 5번마다 바뀐다.

두번째는 (5+1)*5 번마다 바뀌므로 30

첫번째는 (30+1)*5 번마다 바뀌므로 155

따라서 계산해보면

첫번째가 D가 되기까지 (155+1)*3 = 468

두번째가 B가 되기까지 (30+1) = 31

세번째가 B가 되기까지 (5+1) = 6

네번째가 D가 되기까지 (4+1) = 5

다 더하면 

7. 9의 배수는 모든 자릿수의 합이 9의 배수이다.

그리고 연속되는 세자리가 같아야 하므로 가능한 조합은

9000, 1116, 2223, 3330, 3339, 4446, 5553, 6660, 6669, 7776, 8883, 9990

이다. 이중 9000, 3330, 6660, 9990은 반대로 쓰면 앞에 0이오므로 가능한 경우의 수는 12*2-4=20 이다.

8. 1+2+4+...+2^9일 때 더 크면서 가장최소이다.

따라서 9레벨

9. 최단 경로 길찾기를 적용하면 빠르게 구할 수 있다.

10. 해보면 5번 빼고 다 된다.

11. n+1번 접었을 때 마루와 골은 n번 접었을 때 마루와 골 사이에 마루, 골을 축을 잘 잡아서 대칭으로 넣으면 된다.

4번 접어보면 규칙이 보인다.

12. 식을 구하면 y = -a/2 ( x - a/2 ) + 5

x절편을 구하는 식은 

a/2 + 10/a

b가 정수이므로 a는 2의 배수 이면서 10의 약수

따라서 -2, -10, 2, 10  4가지

13. n명이 둥글게 서있고 그룹을 나눈다고 할 때 서로 사이에 칸막이를 두고 안두고로 생각하면 된다.

따라서 경우의 수는 2^n

여기서 칸막이가 하나이면 칸막이를 하나도 안할 때와 다를게 없다. 따라서 한군데만 자르는 경우 n번은 무의미하다.

따라서 일반항은 2^n-n

n이 5일때 27

14 - 15. 그냥 해보면 답이 나온다.

 

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