2011 시도예선 중고등부 문제

수학문제

1. 일 전체양을 1이라고 하면 

A는 한시간에 1/2

B는 한시간에 1/3

C는 한시간에 1/6

으로 할 수 있다. 

셋이 함께하면 1이므로 하루면 된다.

2. 아버지의 나이를 N이라고하면 아들의 나이는 85 - N이다. 

과거에 아버지가 85 - N살이었을 때 아들은는 170 - 3N이다.

여기서 아버지의 나이는 아들 나이의 6배이면 85 - N = 6(170 - 3N)이다.

전개하면 N은 55 아버지는 55 아들은 30

따라서 차이는 25

3. 13의 13승의 끝자리수는 3, 9, 7, 1, 3 ... 반복으로 13번째 일의자리수는 3

4. 1000의 약수를 짝지어 나열하고 그 합이 가장 작은 경우를 구한다.

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000

5. 조건은 전체의 공배수 -1 이면 만족한다.

따라서 최소공배수는  60

답은 59 %  7 = 3

6. 1, 2, 3, 4개씩 잘라서 보면 규칙이 보인다. (9,3)은 시작이 (11, 1)인 수열에 속하기 때문에 

1에서 10 수열까지의 항의개수를 다 더한 55에 11에서 9까지 세번을 더해서 58번이다.  

7. 전부다 구하면 D가 가장 작다. 

8. 이런 문제의 겨우 작은사람이 더 큰사람을 가리키는 그래프를 그린다.

그래프 상에서 다른 모든 노드에 도달할 수 있는 노드라면 그 노드는 자신이 몇번째로 큰지 알 수 있다.

따라서 그래프를 그려보면 G, D, F, E 가 불가능하므로 나머지 3개가 가능하다.

9. 105는 소인수분해하면 5 * 3 * 7 이다.

따라서 1부터 105중 5의 배수이거나 3의배수이거나 7의배수인 수들을 빼주어야 한다.

3의배수는 35개

5의 배수는 21개

7의 배수는 15개

15의 배수는 7개

21의 배수는 5개

35의 배수는 3개

105의 배수는 1개

35+21+15-(7+5+3)+1= 57

전체에서 57을 빼면 48개  따라서 3번

10. 이것도 마찬가지로 하나가 옳다고 가정한 후 모순되지 않으면 정답인거다.

A가 2등이면 D는 3등이고 B는 1등이다. 그러면 C는 4등

11. 두그룹중 B와 C보다 A를 좋아하는 학생들은 22 + 20 - 30 = 12명이다. 

벤다이어그램으로 두개의 집합으로 보면 된다.

B < A, C < A

그러면 교집합은 B,C < A인 부분이다.

12. 이런 문 닫기 열기 문제나 불끄고 켜기 문제는 

n번째 문의 약수의 갯수만큼 수행된다.

예를 들면 14의경우 약수인 1, 2, 7, 14일 때 문이 열고 닫힌다.

따라서 약수의 개수가 짝수이면 문이 닫힌 상태로 끝나고

문의 개수가 홀수이면 문이 열린 상태로 끝난다. (제곱수)

그런데 200까지 문이 있는데 사람은 100까지 밖에 없으므로 

101부터 200까지 문은 약수가 하나 없는게 된다. 

(약수가 아무리 크더라도 n/2까지 밖에 못커진다. 그리고 자기자신을 약수의 개수에서 제외해야 되기 때문)

따라서 열린문의 개수는

1부터 100까지의 제곱수 10개에 101부터 200까지 중 제곱수 4개를 제외한 96개의 합니된다.

따라서 106개

13. 정사각형의 개수 * 4 를하면 직각삼각형의 개수가 나온다. 

따라서 14*4 = 56

거기에 추가로 직각이 선상에 있는 경우가 아닌 것들 중

선과 45도로 비스듬한 삼각형 24개

삼각형 16개

총 96개이다.

14. dp배열의 형태로 풀어가면 된다.

마지막이 1, 2, 3인 세가지 경우로 나눠서

점화식은 다음과 같다.

A1(N) = A1(N-1) + A2(N-1)

A2(N) = A1(N-1) + A2(N-1) + A3(N-1)

A3(N) = A2(N-1) + A3(N-1)

위 점화식을 풀면 N이 6일 때 A(N)은 239이다.

15. 높이 N의 높이균형트리를

노드 하나를 중심으로 높이 N-1높이균형트리를 왼쪽에 두고 높이 N-2높이균형트리를 오른쪽에 두는 방식으로 생각했다.

그러면 이미 중심노의 좌 우 는 높이 균형이고 중심노드를 기준으로 봐도 N-1과 N-2로 높이 균형이다.

따라서 점화식은 A(N) = A(N-1) + A(N-2) + 1

풀어보면 N이 8일 경우 54

코딩문제